公式中最重要的常数是 e，最重要的数字是 1，最重要的运算符是 +，最重要的等式是 e^{i\pi}+1=0。
Leonhard Euler最伟大的数学家之一
PID 参数调节
拖动滑块，实时观察 PID 控制器参数和被控对象参数对阶跃响应的影响。页面包含两种典型被控对象，帮助理解不同系统的控制特性。
PID 控制器
- Kp：比例增益，决定对当前误差的响应强度
- Ki：积分增益，消除稳态误差，但可能引起振荡
- Kd：微分增益，预测误差趋势，抑制超调
调参技巧
- 增大 Kp → 响应更快，但可能产生超调
- 增大 Ki → 消除稳态误差，但可能引起振荡
- 增大 Kd → 抑制超调，但对噪声敏感
提示
每个示例都分为"PID 控制器"和"被控对象"两组参数。先固定 PID 调被控对象，再固定被控对象调 PID — 这就是控制工程中"建模"和"调参"两个独立步骤。
一阶惯性环节
被控对象
传递函数 G(s) = K / (Ts + 1)，最常见的工业过程模型：
- K（系统增益）：输入信号的放大倍数，K 越大系统对输入越敏感
- T（时间常数）：系统响应的惯性，T 越大响应越慢（如大质量物体、大容量水箱）
典型应用
温度控制、液位控制、电机调速 — 输出不会瞬间跟随输入变化，而是以指数方式渐近目标值。
一阶系统阶跃响应
参数调节
PID 控制器
被控对象
调整参数后自动生成图表
二阶系统
被控对象
传递函数 G(s) = ωn² / (s² + 2ζωn·s + ωn²)，控制理论中最经典的模型：
- ωn（自然频率）：系统固有振荡频率，ωn 越大响应越快
- ζ（阻尼比）：决定系统是否有振荡 — ζ < 1 欠阻尼（振荡），ζ = 1 临界阻尼，ζ > 1 过阻尼（迟钝）
典型应用
弹簧-质量-阻尼器、RLC 电路、机械臂关节 — 输出可能出现振荡，阻尼比是决定系统行为的关键参数。
二阶系统阶跃响应
参数调节
PID 控制器
被控对象
调整参数后自动生成图表